如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長線上,弦CD⊥AB,垂足為E,且PC=PE·PO .

(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求⊙O的半徑;
(3)在(2)問下,求的值。
(1)連接OC,根據(jù)PC2=PE•PO和∠P=∠P,可證得△PCO∽△PEC,即可證得∠PCO=∠PEC,再結(jié)合已知條件即可得出PC⊥OC,從而證得結(jié)論;(2)3;(3)

試題分析:(1)根據(jù)和∠P=∠P,可證得△PCO∽△PEC,即可證得∠PCO=∠PEC,再結(jié)合已知條件即可得出PC⊥OC,從而證得結(jié)論;
(2)設(shè)OE=x,則AE=2x,根據(jù)切割線定理得,則,解一元二次方程即可求出x,從而得出⊙O的半徑;
(3)連接BC,根據(jù)PC是⊙O的切線,得∠PCA=∠B,根據(jù)勾股定理可得出CE,BC,再由三角函數(shù)的定義即可求出結(jié)果.
(1)∵ 

∵∠P=∠P
∴△PCO∽△PEC
∴∠PCO=∠PEC
∵CD⊥AB
∴∠PEC=90°
∴∠PCO=90°
∴PC是⊙O的切線;
(2)設(shè)OE=x
∵OE:EA=1:2
∴AE=2x


∵PA=6
∴(6+2x)(6+3x)=6(6+6x),
解得x=1
∴OA=3x=3
∴⊙O的半徑為3;
(3)連接BC





∵PC是⊙O的切線
∴∠PCA=∠B

點(diǎn)評:本題是一道綜合性的題目,主要考查了學(xué)生對各種定義的綜合應(yīng)用能力,是中考壓軸題,難度中等.
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第三步,連接BD.
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