【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn),與軸交點(diǎn),拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn),與軸交于另一點(diǎn).如圖1,點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作軸交于.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)是直角三角形時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖2,作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),作直線與拋物線交于,設(shè)拋物線對稱軸與軸交點(diǎn)為,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),請你直接寫出的長.
【答案】(1);(2)或;(3) 2.
【解析】
(1)先求出A、C點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式即可;
(2)設(shè),則,然后就P在BC上方和下方分別解答即可;
(3)由題意得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)和(0,2),求得M和Q的坐標(biāo),得出直線QM的解析式,進(jìn)而確定E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo);然后過點(diǎn)E做垂直于x軸的直線交點(diǎn)為H,過點(diǎn)F做垂直于y軸的直線,交于點(diǎn)G ,證得△EQH∽△EFG和△MQJ∽△EQH,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出方程解答即可.
解:(1)在中,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴、
∵拋物線的圖象經(jīng)過,兩點(diǎn)
∴
∴
∴拋物線的解析式為
(2)設(shè),則
①當(dāng)在的上方時(shí),
,
若,
∵軸,可得軸
∴
∴
在中
∴在中,
∴
∴或(舍去)
∴點(diǎn)坐標(biāo)
②當(dāng)在的下方時(shí),過作于.
若,
∴
∴在中,
∴.
∴或(舍去)
∴點(diǎn)坐標(biāo)
∴當(dāng)是直角三角形時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為或.
(3)設(shè)BC直線為y=kx+b,
有 解得導(dǎo),
∴直線BC為
拋物線的解析式可化為: ,
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,0)
∵PM⊥x軸
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)即為點(diǎn)P橫坐標(biāo),為2
又∵點(diǎn)M在直線BC上,有=1
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1)
設(shè)過點(diǎn)Q、M直線為y=k2x+b2,
則有 ,解得
∴ QM直線為y=x-1
由解得
∴E、F橫坐標(biāo)別為Ex=,Fx=
又∵點(diǎn)E、F在QM直線上,
∴點(diǎn)E、F別坐標(biāo)為Ey=,Fy=
過點(diǎn)E作垂直于x軸的直線交點(diǎn)為H,過點(diǎn)F作垂直于y 軸的直線,交于點(diǎn)G
∵EH⊥x軸,FG⊥y軸
∴EH⊥FG,G點(diǎn)坐標(biāo)為(Ex,Fy)
∴∠EHQ=∠EGF=90°
又∵∠EQH=∠EFG
△EQH∽△EFG
過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線交點(diǎn)為J
同理可得△MQJ∽△EQH,
∴△EQH∽△EFG△MQJ,
∴
∴
∴EF=×=2
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【題目】如圖,是半徑為4的的內(nèi)接三角形,連接,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(1)試判斷四邊形的形狀,并說明理由;
(2)填空:①若,當(dāng)時(shí),四邊形的面積是__________;②若,當(dāng)的度數(shù)為__________時(shí),四邊形是正方形.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為______(用m表示);
(2)已知點(diǎn)M(-6,4),點(diǎn)N(3,4),若拋物線與線段MN恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求m的取值范圍.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),.把拋物線與線段圍成的封閉圖形記作.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)為圖形中的拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過點(diǎn)作軸,交線段于點(diǎn).當(dāng)為等腰直角三角形時(shí),求的值;
(3)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,以線段為邊作正方形,且使正方形與圖形在直線的同側(cè),當(dāng),兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在圖形的內(nèi)部時(shí),請直接寫出的取值范圍.
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【題目】某校為了解本校九年級男生體育測試中跳繩成績的情況,隨機(jī)抽取該校九年級若干名男生,調(diào)查他們的跳繩成績(次/分),按成績分成,,,,五個(gè)等級.將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
該校被抽取的男生跳繩成績頻數(shù)分布直方圖
(1)本次調(diào)查中,男生的跳繩成績的中位數(shù)在________等級;
(2)若該校九年級共有男生400人,估計(jì)該校九年級男生跳繩成績是等級的人數(shù).
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【題目】數(shù)學(xué)實(shí)踐小組想利用鏡子的反射測量池塘邊一棵樹的高度AB.測量和計(jì)算的部分步驟如下:
①如圖,樹與地面垂直,在地面上的點(diǎn)C處放置一塊鏡子,小明站在BC的延長線上,當(dāng)小明在鏡子中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時(shí),測得小明到鏡子的距離CD=2米,小明的眼睛E到地面的距離ED=1.5米;
②將鏡子從點(diǎn)C沿BC的延長線向后移動10米到點(diǎn)F處,小明向后移動到點(diǎn)H處時(shí),小明的眼睛G又剛好在鏡子中看到樹的頂點(diǎn)A,這時(shí)測得小明到鏡子的距離FH=3米;
③計(jì)算樹的高度AB;
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【題目】如圖,將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A′B′C′,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32時(shí),它移動的距離AA′等于________.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),對稱軸為直線,下列結(jié)論中一定正確的是____________(填序號即可).
①;
②若是拋物線上的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),
③若方程的兩根為,且,則
④
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=3,D是AB上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,則的最大值為_____.
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