Question

閱讀下列材料．
對(duì)于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當(dāng)△=b²-4ac＞0時(shí)，記方程兩根分別為x₁，x₂，則有：x1=

-b+ △

2a

，x2=

-b- △

2a

．發(fā)現(xiàn)：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，
如圖：若一元二次方程x2-

3

2

mx-2m=0的兩實(shí)數(shù)根分別是A點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)，即x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12•OC+1．
（1）求m的值并求出x₁，x₂．
（2）在前面的條件下，若過O作數(shù)軸的垂線，D為垂線上一點(diǎn)，取OD=OC，連AD，BD，試說明AD與BD的位置關(guān)系，這樣的D點(diǎn)有幾個(gè)，畫圖說明．

Answer 1

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，進(jìn)而得出m的值，進(jìn)而求出方程的根；
（2）利用數(shù)形結(jié)合以及勾股定理求出AD與BD的位置關(guān)系即可．

解答：解：（1）∵（AO+OB）²=12•OC+1，
∴（-x₁+x₂）²=12×2+1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，
∵x₁+x₂=

3

2

m，
x₁x₂=-2m，
∴（

3

2

m）²+8m=25，
整理得出：
9m ²+32m-100=0，
（9m+50）（m-2）=0，
解得：m₁=-

50

9

，m₂=2，
當(dāng)m₁=-

50

9

時(shí)，△＜0，故舍去，
當(dāng)m₂=2時(shí)，△＞0，
∴方程為：x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4；

（2）∵如圖所示，x₁=-1，x₂=4，CO=2，
∴AO=1，OB=4，DO=CO=2，
∵AD²=AO²+DO²=1+4=5，BD²=DO²+BO²=4+16=20，
AB ²=25，
∴AD²+BD²=AB ²，
∴AD⊥BD，
如圖所示這樣的D點(diǎn)有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理和十字相乘法解一元二次方程，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．