Question

（2009•邯鄲二模）如圖，矩形EFGH的邊EF=6cm，EH=3cm，在平行四邊形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=

3

5

，點(diǎn)EFBC在同一直線上，且FB=1cm，矩形從F點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿直線FC向右移動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)落在邊CF所在直線上即停止．
（1）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，何時(shí)矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點(diǎn)？
（2）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時(shí)，求出重疊面積S（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出時(shí)間t的范圍．是否存在某一時(shí)刻，使得重疊部分的面積S=16.5cm²？若存在，求出時(shí)間t，若不存在，說明理由．（3）若矩形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C-D-A-B的路線，以0.5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，矩形停止時(shí)點(diǎn)Q也即停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q在進(jìn)行一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s？

Answer 1

分析：（1）何時(shí)矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點(diǎn)，題目本身就不明確，到底是GF還是HE，經(jīng)過了AB的中點(diǎn)還是CD的中點(diǎn)，所以必須分情況討論，即①當(dāng)GF邊通過AB邊的中點(diǎn)②當(dāng)EH邊通過AB邊的中點(diǎn)③當(dāng)GF邊通過CD邊的中點(diǎn)
（2）設(shè)當(dāng)矩形運(yùn)動(dòng)到t（s）（7＜t＜11）時(shí)與平行四邊形的重疊部分為五邊形，則BE、AH都可用含有t的式子表示出來．在矩形EFGH中易證△AHP∽△BEP根據(jù)對應(yīng)線段成比例，可求出EP的長，因此面積可表示出來．
（3）點(diǎn)Q在矩形一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s，這里的“一邊”是哪一邊，必須分情況進(jìn)行解釋，所以也有三種情況．

解答：解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3，
①當(dāng)GF邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，
有BF=

1

2

BM=2，
∴t₁=3（s）．
②當(dāng)EH邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，
有BE=

1

2

BM=2，
∴BF=2+6=8，
∴t₂=8+1=9（s）．
③當(dāng)GF邊通過CD邊的中點(diǎn)K時(shí)，
有CF=2，
∴t₃=1+10+2=13（s），
綜上，當(dāng)t等于3s或9s或13s時(shí)，矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點(diǎn)．


（2）設(shè)當(dāng)矩形運(yùn)動(dòng)到t（s）（7＜t＜11）時(shí)與平行四邊形的重疊部分為五邊形，
則BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t，
在矩形EFGH中，有AH∥BF，
∴△AHP∽△BEP，
∴

BE

HA

=

PE

PH

，
∴

11-t

t-7

=

EP

3-EP

，
∴EP=

3(11-t)

4

，
∴S=18-

1

2

(11-t)×

3(11-t)

4

，
=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜11），
由對稱性知當(dāng)11＜t＜15時(shí)重疊部分仍為五邊形，
綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11），
把s=16.5代入得：16.5=-

3

8

（t-11）²+18，
∴t₁=9，t₂=13，
即當(dāng)t等于9s或13s時(shí)重疊部分的面積為16.5cm²．

（3）點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需的時(shí)間為：
5÷（

1

2

）=10（s），
此時(shí)，DG=1+14-10=5，
點(diǎn)Q從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始到與矩形相遇所需的時(shí)間為：

5

1+ 1 2

=

10

3

，
∴矩形從與點(diǎn)Q相遇到運(yùn)動(dòng)到停止所需的時(shí)間為：5-

10

3

=

5

3

，
從相遇到停止點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為：

1

2

×

5

3

=

5

6

，

5

6

+

5

3

=

5

2

＜6，
即點(diǎn)Q從相遇到停止一直在矩形的邊GH上運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)Q在矩形的一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：

5

3

s．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)，此題在解答過程中，一定要注意分情況討論，另外還考查了二次函數(shù)的一些基本應(yīng)用，考查比較全面，難易程度適中．