Question

已知關于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無論k取任何實數(shù)時，此方程總有實數(shù)根；
（2）若關于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0的兩個根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）①當該方程是一元一次方程時，解方程即可；
②當該方程是一元二次方程時，根據(jù)已知方程的根的判別式的符號進行判定該方程的根的情況；
（2）先利用求根公式求出兩根，x₁=-3，x₂=-

1

k

，只要1被k整除，并且有k≥1的整數(shù)，即可得到k的值．

解答：解：（1）①當k=0時，方程為x+3=0，解得x=-3，∴此時方程有實數(shù)根；
②當k≠0時，△=（3k+1）²-12k=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0
∴此時方程有實數(shù)根；
∴綜上，無論k取任何實數(shù)時，此方程總有實數(shù)根；

（2）解方程得到：x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，則x₁=-3，x₂=-

1

k

．
∵關于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0的兩個根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)
∴k=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．
當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；
當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了解方程的方法和整數(shù)的整除性質．