Question

如圖1，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，且OC=2，OA：OB=1：4，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=x+b與Rt△ABC相交，所截得的三角形面積是原Rt△ABC面積的

3

10

，求b的值；
（3）將△OAC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OEF，如圖2，再將△OEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點M、N、Q分別與點E、F、O對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知了OC的長，OA，OB的比例關(guān)系，可直接用射影定理求出OA，OB的長，即可得出A，B，C三點的坐標，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）可先判斷直線y=x+b與△ABC的哪個邊相交，可求出直線過A點時，分△ABC的兩部分的面積各為多少，以此可判斷出直線與△ABC的哪條直角邊相交，然后求出直線y=x+b與三角形兩邊的交點，然后根據(jù)直線分△ABC的兩部分的面積來求出b的值．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：MQ=OE，而MQ的值為M、N兩點縱坐標的差，可據(jù)此來求兩點的坐標．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△OAC∽△GCF．
∴

OA

OC

=

OC

OB

，即OC²=OA•OB
∵OA：OB=1：4，OC=2
∴OA=1，OB=4
∴A（-1，0），B（4，0）
設拋物線的解析式是y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）坐標代入
得2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

（x+1）（x+4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）由B（4，0）、C（0，2）得直線BC解析式為y=-

1

2

x+2；
當直線y=x+b過點A時，b=1，由

y=x+1 y=- 1 2 x+2

，
得交點H（

2

3

，

5

3

），
則S_△ABH=

1

2

×5×

5

3

=

25

6

＞

3

10

×5
S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH=

5

6

＜

3

10

×5
∴直線y=x+b只能與BC相交．
直線y=x+b與x軸交于點G（-b，0），BG=4+b，
解方程組

y=x+b y=- 1 2 x+2

．
得H（

4-2b

3

，

4+b

3

）
根據(jù)題意得

1

2

（4+b）×

4+b

3

=

3

10

×（

1

2

×5×2）
解得b=-1或b=-7
經(jīng)檢驗，b=-7都是原方程的根，不符合題意舍去．
∴b=-1．

（3）根據(jù)題意得MQ∥OE，NQ∥OF
且MQ=OE=1，NQ=OF=2，
設M（t，-

1

2

t2+

3

2

t+2），
則N（t+2，-

1

2

t2+

3

2

t+1）
于是-

1

2

t2+

3

2

t+1-（-

1

2

(t+2)2+

3

2

(t+2)+2t）=1
∴M（1，3），N（2，1）

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形相似、函數(shù)圖象的交點的求法，圖形面積的求法等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．