Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB解析式為：y=x+．直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，OD的中點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線解析式與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用：△ACD∽△ABO求出AD、CD，再根據(jù)EF是梯形OBCD的中位線求出EF的長進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先確定△OPB的直角所在的定點(diǎn)然后分情況討論進(jìn)行分析和排除．
解答：解：（1）將y=0代入解得x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
將x=0代入解得y=，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；

（2）證得：△ACD∽△ABO CD=BO=，AD=OD=AO=
∵E，F(xiàn)分別為BC，OD的中點(diǎn)，CD∥BO
∴EF=（BO+CD）=（+）=OF=OD=
∴E（，） …5分

（3）當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，如圖①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，∴P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．
當(dāng)∠OPB=90°時(shí)③過點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P（如圖②），此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．
∴（，）．
方法二：設(shè)P（x，x+），得OM=x，PM=x+，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此時(shí)，（，）．
④若△POB∽△OBA（如圖③），則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)P₄的坐標(biāo)）．
當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）． …做出一種情況1分
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了一次函數(shù)和相似三角形性質(zhì)相結(jié)合的問題，是典型的數(shù)形結(jié)合的題目．