Question

（2013•長春）如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發(fā)，沿B-A-D-A運動，沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．連結(jié)PQ．
（1）當點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）連結(jié)AQ，在點P沿B-A-D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結(jié)BR，如圖②．在點P沿B-A-D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．
（4）設(shè)點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論，當點P沿A-D運動時，當點P沿D-A運動時分別可以表示出AP的值；
（2）分類討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜

29

4

時，根據(jù)三角形的面積公式分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分情況討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜

8

3

時，當

8

3

＜t＜

29

4

時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；
（4）分情況討論當P在A-D之間或D-A之間時，如圖⑥，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解，當P在D-A之間如圖⑦，根據(jù)菱形的性質(zhì)建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）當點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）=8t-8．
當點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．（2分）

（2）當點P與點A重合時，BP=AB，t=1．
當點P與點D重合時，AP=AD，8t-8=50，t=

29

4

．
當0＜t＜1時，如圖①．
過點Q作QE⊥AB于點E．
S_△ABQ=

1

2

AB•QE=

1

2

BQ×12，
∴QE=

12BQ

AB

=

12×5t

13

=

60t

13

．
∴S=-30t²+30t．
當1＜t≤

29

4

時，如圖②．
S=

1

2

AP×12=

1

2

×(8t-8)×12，
∴S=48t-48；

（3）當點P與點R重合時，
AP=BQ，8t-8=5t，t=

8

3

．
當0＜t≤1時，如圖③．
∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中

∠PBM=∠QRM ∠BPM=∠MQR PM=QM

，
∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
 當1＜t≤

8

3

時，如圖④．
∵BR平分陰影部分面積，
∴P與點R重合．
∴t=

8

3

．
當

8

3

＜t≤

29

4

時，如圖⑤．
∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}．
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．
綜上所述，當t=1或

8

3

時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．

（4）如圖⑥，當P在A-D之間或D-A之間時，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=

95

13

．
當P在A-D之間或D-A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖⑦．
同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=

121

13

．
∴當t=7，t=

95

13

，t=

121

13

時，點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，菱形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，分類討論的數(shù)學思想的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運用動點問題的解答方法確定分界點是解答本題的關(guān)鍵和難點．