Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°．

（1）在BC邊上作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到邊AB的距離相等（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若AC=8，BC=6，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）作∠BAC的平分線交BC于P點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到邊AB的距離相等；

（2）作PD⊥AB于點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PD=PC，則可證明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則BD=2，設(shè)PC=x，則PD=x，BP=6﹣x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（6﹣x）2=x2+22，然后解方程即可．

解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求；

（2）作PD⊥AB于點(diǎn)，如圖，

∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，

∴PD=PC．

在Rt△ADP和Rt△ACP中

，

∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），

∴AD=AC=8，

在Rt△ABC中，AB==10，

∴BD=10﹣8=2，

設(shè)PC=x，則PD=x，BP=6﹣x，

在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，

∴（6﹣x）2=x2+22，解得x=．

答：CP的長(zhǎng)為．