Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4

2

，∠B=45°．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求BC的長；
（2）當MN∥AB時，求t的值；
（3）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求解；
（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×時間求得其中的有關(guān)的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識求解．

解答：解：（1）如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4

2

•

2

2

=4BK=AB•cos45°=4

2

•

2

2

=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC=

52-42

=3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．

（2）如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由題意知，當M、N運動到t秒時，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴

CN

CD

=

CM

CG

，
即

t

5

=

10-2t

7

．
解得，t=

50

17

．

（3）分三種情況討論：
①當NC=MC時，如圖③，即t=10-2t，
∴t=

10

3

．

②當MN=NC時，如圖④，過N作NE⊥MC于E．
解法一：
由等腰三角形三線合一性質(zhì)得
EC=

1

2

MC=

1

2

（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC=

EC

NC

=

5-t

t

，
又在Rt△DHC中，cosC=

CH

CD

=

3

5

，
∴

5-t

t

=

3

5

．
解得t=

25

8

．
解法二：
∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，
∴△NEC∽△DHC．
∴

NC

DC

=

EC

HC

，
即

t

5

=

5-t

3

．
∴t=

25

8

．
③當MN=MC時，如圖⑤，過M作MF⊥CN于F點．FC=

1

2

NC=

1

2

t．
解法一：（方法同②中解法一）cosC=

FC

MC

=

1 2 t

10-2t

=

3

5

，
解得t=

60

17

．
解法二：
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC．
∴

FC

HC

=

MC

DC

，
即

1 2 t

3

=

10-2t

5

，
∴t=

60

17

．
綜上所述，當t=

10

3

、t=

25

8

或t=

60

17

時，△MNC為等腰三角形．

點評：注意梯形中常見的輔助線：平移一腰、作兩條高．構(gòu)造等腰三角形的時候的題目，注意分情況討論．此題的知識綜合性較強，能夠從中發(fā)現(xiàn)平行四邊形、等腰三角形等，根據(jù)它們的性質(zhì)求解．