如圖,一次函數(shù)y=-x+3的圖象交x軸于點A,交y軸于點Q,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為C,其圖象過A、Q兩點,并與x軸交于另一個點B(B點在A點左側),△ABC三內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對邊為a,b,c.若關于x的方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0有兩個相等實數(shù)根,且a=b;
(1)試判定△ABC的形狀;
(2)當數(shù)學公式時求此拋物線的解析式;
(3)拋物線上是否存在點P,使S△ABP=S四邊形ACBQ?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

解:(1)方程整理得(c-a)x2+2bx+(c+a)=0;
由方程有兩個相等的實數(shù)根
得△=0

即△ABC為等腰直角三角形.

(2)在y=-x+3中,令x=0,則y=3;令y=0,則x=3;
∴A(3,0),Q(0,3);
設B點坐標為(x,0);
∴AB=3-x
在Rt△AOQ中,AQ==3
,
,
解之得:x=1,
∴B(1,0),
∵拋物線過A、B、Q三點,則有:
,
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(3)假設拋物線上有點P,坐標為(x,y);
∴S△ABP=×AB×|y|=|y|;
S四邊形ACBQ=S△ABC+S△ABQ
=×2×1+×2×3=4
由S△ABP=S四邊形ACBQ,得|y|=4;
∴y=±4;
當y=4時,x2-4x+3=4;解得x=2+,x=2-;
當y=-4時,x2-4x+3=-4,△<0,方程無解.
∴拋物線上存在點P的,其坐標為(2+,4)或(2-,4).
分析:(1)可將題中給出的方程進行整理,已知了方程有兩個相同的實數(shù)根,那么方程的△=0,然后聯(lián)立a=b,即可判斷出三角形ABC的形狀.
(2)可先根據(jù)直線AQ的解析式求出A、Q的坐標,進而可求出線段AQ的長,根據(jù)AB、AQ的比例關系式,可求出AB的長,即可得出B點坐標,然后根據(jù)已知的A、B、Q的坐標,用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)可先求出四邊形ACBQ的面積,然后根據(jù)三角形ABP和四邊形ACBQ面積相等,即可得出三角形ABP的面積,AB長為定值,可求出P點縱坐標的絕對值,將其代入拋物線的解析式中,即可求出P點坐標.
點評:本題考查了等腰直角三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,一次函數(shù)y=kx+2的圖象與反比例函數(shù)y=
m
x
的圖象交于點P,點P在第一象限.PA⊥x軸于點A,PB⊥y軸于點B.一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、D,且S△PBD=4,
OC
OA
=
1
2

(1)求點D的坐標;
(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象寫出當x>0時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,一次函數(shù)y1=-x-1與反比例函數(shù)y2=-
2
x
圖象相交于點A(-2,1)、B(1,-2),則使y1>y2的x的取值范圍是( 。
A、x>1
B、x<-2或0<x<1
C、-2<x<1
D、-2<x<0或x>1

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

13、如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k<0)的圖象經(jīng)過點A.當y<3時,x的取值范圍是
x>2

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•成都)如圖,一次函數(shù)y1=x+1的圖象與反比例函數(shù)y2=
kx
(k為常數(shù),且k≠0)的圖象都經(jīng)過點
A(m,2)
(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式;
(2)結合圖象直接比較:當x>0時,y1和y2的大。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B,與反比例函數(shù)y=
4x
(x>0)
的圖象交于點C,CD⊥x軸于點D,求四邊形OBCD的面積.

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