Question

【題目】如圖，等腰三角形△ABC的腰長(zhǎng)AB=AC=25，BC=40，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC向C運(yùn)動(dòng)，速度為10單位/秒．動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng)，速度為5單位/秒，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)候兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接P′P和P′Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若當(dāng)t的值為m時(shí)，PP′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求m的值；

（2）設(shè)△P′PQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（m＜t≤4） ；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相應(yīng)的t值，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=s；（2）y=78t2﹣504t+768（＜t≤4）；（3）存在，t=2時(shí)，PQ平分角∠P′PC .

【解析】

試題（1）由∠C的余弦定義既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，構(gòu)建方程，求出m；

（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面積公式，即可得y=PP′NQ=78t2﹣504t+768；

（3）利用∠C的正弦有兩種表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.

試題解析：（1）如圖1中，作AM⊥BC于M．

∵AB=AC=25，AM⊥BC，

∴BM=MC=20，

在Rt△ABM中，AM= =15，

當(dāng)PP′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∵cos∠C= ，

∴，

∴t= ，

∴m= s；

（2）如圖2中，設(shè)PP′交AC于N．

當(dāng) ＜t≤4時(shí)，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t，CN=32﹣8t，

∵CQ=5t，

∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t，

∴y= PP′NQ= （48﹣12t）（32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4）；

（3）存在．理由如下：

如圖3中，作QE⊥BC于E．

∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，

∴QN=QE，

∵sin∠C=，

∴

∴t=2，

∴t=2時(shí)，PQ平分角∠P′PC.