Question

【題目】探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1x1,y1，P2x2,y2，可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：，他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)Px,y的坐標(biāo)公式：

（1）已知點(diǎn)M2,1,N2,5，則線段MN長度為 ；

（2）請求出以點(diǎn)A2,2,B2,0,C3,1，D為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖3，OL滿足y2xx0，點(diǎn)P2,1是OL與x軸正半軸所夾的內(nèi)部一點(diǎn)，請?jiān)?/span>OL、x軸上分別找出點(diǎn)E、F，使PEF的周長最小，求出周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）；（3）△PEF周長的最小值是4.

【解析】

（1）直接利用兩點(diǎn)間距離公式可求得MN的長；

（2）分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1，P點(diǎn)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為P2，連接PP1交x軸于點(diǎn)H，連接PP2交直線y=2x于點(diǎn)G，連接P1P2，分別交x軸、直線y=2x于點(diǎn)F、E，由對稱性知此時(shí)△PEF的周長最小，等于P1P2的長；由于PP2⊥OG，于是根據(jù)兩直線垂直有，可設(shè)直線PP2的解析式為，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b，于是直線PP2的解析式可得，聯(lián)立直線PP2和OG的解析式可求得G點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?/span>G為PP2的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得P2點(diǎn)的坐標(biāo)，而P1的坐標(biāo)為（2，－1），最后再用兩點(diǎn)間距離公式求出即可.

解：（1）∵M（2，﹣1），N（﹣2，5），

∴MN==，

故答案為：；

（2）∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），

∴當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)，其對稱中心坐標(biāo)為（0，1），

設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，

∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）；

當(dāng)AC為對角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1）；

當(dāng)BC為對角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），

綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；

（3）如圖，設(shè)P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1，P點(diǎn)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為P2，連接PP1交x軸于點(diǎn)H，連接PP2交直線y=2x于點(diǎn)G，連接P1P2，分別交x軸、直線y=2x于點(diǎn)F、E，由對稱性知，PE=P2E，PF=P1F，PE+EF+PF=P2E+EF+P1F=P1P2，

此時(shí)△PEF的周長最小，等于P1P2的長.

∵PP2⊥OG，OG的解析式為y=2x，

∴可設(shè)直線PP2的解析式為，

把P點(diǎn)坐標(biāo)（2,1）代入上述解析式，得b=2，

∴直線PP2的解析式為，

聯(lián)立方程組，解得.

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.

設(shè)P2點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），因?yàn)?/span>G是PP2的中點(diǎn)，所以，

解得：，所以P2點(diǎn)的坐標(biāo)為（），

又因?yàn)?/span>P1的坐標(biāo)是（2,－1），

所以由兩點(diǎn)距離公式，得.

故△PEF周長的最小值是4.