Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，，∠ABC的平分線BD交AC與點D，DE⊥DB交AB于點E．設⊙O是△BDE的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連接EF，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵OD是⊙O半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑是r，
∵AB=15，tanA=，
∴BC=9，AC=12，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴=，
解得：r=，BE=，
又∵EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴===．
分析：（1）求出∠ODB=∠OBD=∠DBC，推出OD∥BC，根據(jù)∠C=90°推出OD⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）設⊙O的半徑是r，求出BC=9，AC=12，根據(jù)相似三角形的判定推出△AOD∽△ABC，得出比例式=，求出r和BE，證△BEF∽△ABC，得出=，代入求出即可．
點評：本題考查的知識點是切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等，證明切線方法之一是知道過圓上一點，連接圓心和該點證垂直，之二是不知道過圓上一點，作垂直證半徑．