Question

已知反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b）、（a+1，b+k）兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若兩個函數(shù)圖象在第一象限內的交點為A（1，m），請問：在x軸上是否存在點B，使△AOB為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點B的坐標；
（3）若直線y=-x+交x軸于C，交y軸于D，點P為反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上一點，過P作y軸的平行線交直線CD于E，過P作x軸的平行線交直線CD于F，求證：DE•CF為定值．

Answer 1

解：（1）∵y=2x-1的圖象經(jīng)過（a，b）、（a+1，b+k）兩點，
∴，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）∵A（1，m）在反比例函數(shù)y=上，
∴A（1，1），
若∠ABO=90°，則B（1，0）；
若∠OAB=90°，則B（2，0）．
∴在x軸上存在點B，使△AOB為直角三角形，且滿足條件的點B有兩個，
即：B₁（1，0），B₂（2，0）；

（3）設P（x，y），
∵直線y=-x+交x軸于C，交y軸于D，
∴C（0.5，0），D（0，0.5），
∴△OCD為等腰直角三角形．
作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，
則△FMC、△DEN為等腰直角三角形，
∴FC=FM=y，DE=EN=x，
∴DE•CF=2xy，
∵P（x，y）在y=上，
∴xy=1，
∴DE•CF=2．
分析：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）分別代入y=2x-1，轉化為關于未知系數(shù)的方程組解答；
（2）求出A點坐標，即可根據(jù)圖形特征找到B點坐標；
（3）作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，構造等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質，將DE•CF轉化為反比例函數(shù)系數(shù)的倍數(shù)解答．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求解析式和函數(shù)圖象的交點坐標與函數(shù)解析式組成的方程組的解的關系，構造等腰直角三角形也是解答此題的關鍵．