Question

【題目】在ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E，F，且BE＝DF．

（1）如圖1，求證：ABCD是菱形；

（2）如圖2，連接BD，交AE于點G，交AF于點H，連接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫出圖中面積是△BEG面積2倍的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABG、△ADH、△AGH、△DFG

【解析】

（1）證明△AEB≌△AFD得出AB＝AD，即可得出結論；

（2）連接AC交BD于O，則AC⊥BD，證出EF∥BD，得出∠CBD＝∠CEF＝30°，∠ABC＝60°，證明△ABC是等邊三角形，∠EBG＝∠FDH，得出∠BAG＝∠ABG，∴AG＝BG，同理：AH＝DH，得出BE＝BC＝AB，由菱形的性質和角平分線的性質得出點G到AB與BC邊上的高相等，得出S△ABG＝2S△BEG；證明△BEG≌△DFH得出BG＝DH，得出AG＝AH，得出S△ABG＝S△ADH，S△ADH＝2S△BEG；證出△AGH是等邊三角形，得出GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，得出△AGH的面積＝2△BEG的面積；△GHF的面積＝△DFH的面積，得出△DFG的面積＝2△BEG的面積．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB和△AFD中，，

∴△AEB≌△AFD（ASA），

∴AB＝AD，

∴ABCD是菱形；

（2）解：圖中面積是△BEG面積2倍的所有三角形為△ABG、△ADH、△AGH、△DFG；理由如下：

連接AC交BD于O，如圖所示：

則AC⊥BD，

∵BC＝CD，BE＝DF，

∴BE：BC＝DF：CD，

∴EF∥BD，

∴∠CBD＝∠CEF＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝AB，

∴△ABC是等邊三角形，∠EBG＝∠FDH，

∴∠BAG＝∠ABG，

∴AG＝BG，

同理：AH＝DH，

∵AE⊥BC，

∴BE＝BC＝AB，

∵ABCD是菱形，

∴BD是∠ABC的平分線，

∴點G到AB與BC邊上的高相等，

∴S△ABG＝2S△BEG，

在△BEG和△DFH中， ，

∴△BEG≌△DFH（ASA），

∴△BEG的面積＝△DFH的面積，BG＝DH，

∴AG＝AH，

∵△AEB≌△AFD，

∴S△ABG＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；

∵∠GAH＝∠OAG+∠OAH＝60°，

∴△AGH是等邊三角形，

∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，

∴△AGH的面積＝2△BEG的面積，

∴△GHF的面積＝△DFH的面積，

∴△DFG的面積＝2△BEG的面積；

∴圖中面積是△BEG面積2倍的三角形為：△ABG、△ADH、△AGH、△DFG．