【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F.
(1)求證:四邊形DEBF是平行四邊形;
(2)當(dāng)DE=DF時(shí),求EF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得到AB∥CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFO=∠BEO再證明△DOF≌△BOE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=BE,從而得到四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)先證明四邊形BEDF是菱形,再得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x根據(jù)勾股定理求解即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO.
在△DOF和△BOE中
,
∴△DOF≌△BOE(AAS).
∴DF=BE.
又∵DF∥BE,∴四邊形BEDF是平行四邊形.
(2)解:∵DE=DF,四邊形BEDF是平行四邊形,
∴四邊形BEDF是菱形.
∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF.
設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x,
在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理,有AE2+AD2=DE2,
∴x2+62=(8-x)2.解得x=.
∴DE=8-=.
在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理,有AB2+AD2=BD2,
∴BD==10.
∴OD=BD=5.
在Rt△DOE中,根據(jù)勾股定理,有DE2-OD2=OE2,
∴OE==.
∴EF=2OE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn),按如圖方式作正方形、、,點(diǎn)、、在直線上,點(diǎn)、、在軸上,圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為、、、,則的值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“半日走遍江淮大地,安徽風(fēng)景盡在徽?qǐng)@”,位于省會(huì)合肥的徽?qǐng)@景點(diǎn)某年三月共接待游客萬(wàn)人,四月比三月旅游人數(shù)增加了,五月比四月游客人數(shù)增加了,已知三月至五月徽?qǐng)@的游客人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為,則可列方程為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角形紙片和按圖1所示放置,直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處,,.保持紙片不動(dòng),將紙片繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).當(dāng)與在同一直線上(如圖2)時(shí),的正切值等于_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于兩個(gè)點(diǎn),和圖形,如果在圖形上存在點(diǎn),(,可以重合),使得,那么稱點(diǎn)與點(diǎn)是圖形的一對(duì)“倍點(diǎn)”.已知⊙O的半徑為,點(diǎn).
(1)①點(diǎn)到⊙O的最大值是_______,最小值是_______;
②在,,這兩個(gè)點(diǎn)中,與點(diǎn)是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”的是_______;
(2)在直線上存在點(diǎn)與點(diǎn)是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”,求的取值范圍;
(3)已知直線,與軸、軸分別交于點(diǎn)的,,若線段(含端點(diǎn),)上所有點(diǎn)與點(diǎn)都是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為正六邊形的中心,P,Q分別從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)出發(fā),沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,則第2020次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)A,B.
(1)求拋物線解析式;
(2)E(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)E,交直線AB于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)P,連接PB.
①點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng),若△PBD是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
②點(diǎn)E在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),若,請(qǐng)直接寫出m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形.
概念理解:
①在互補(bǔ)四邊形中,與是一組對(duì)角,若則 _
②如圖1,在中,點(diǎn)分別在邊上,且求證:四邊形是互補(bǔ)四邊形.
探究發(fā)現(xiàn):如圖2,在等腰中,點(diǎn)分別在邊上, 四邊形是互補(bǔ)四邊形,求證:.
推廣運(yùn)用:如圖3,在中,點(diǎn)分別在邊上,四邊形是互補(bǔ)四邊形,若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn),AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié)論;
(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點(diǎn)F,連接BF,交AE于點(diǎn)G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
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