【題目】已知拋物線p:y=ax2+bx+c的頂點為C,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),點C關(guān)于x軸的對稱點為C′,我們稱以A為頂點且過點C′,對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線,直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線.若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2,則這條拋物線的解析式為 .
【答案】y=x2﹣2x﹣3
【解析】解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴A點坐標為(﹣1,0),
解方程組 得 或 ,
∴點C′的坐標為(1,4),
∵點C和點C′關(guān)于x軸對稱,
∴C(1,﹣4),
設(shè)原拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣4,
把A(﹣1,0)代入得4a﹣4=0,解得a=1,
∴原拋物線解析式為y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.
所以答案是y=x2﹣2x﹣3.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本,需要知道增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.
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【題目】如圖,直線PQ∥MN,點C是PQ、MN之間(不在直線PQ,MN上)的一個動點.
(1)若∠1與∠2都是銳角,如圖甲,請直接寫出∠C與∠1,∠2之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)若把一塊三角尺(∠A=30°,∠C=90°)按如圖乙方式放置,點D,E,F是三角尺的邊與平行線的交點,若∠AEN=∠A,求∠BDF的度數(shù);
(3)將圖乙中的三角尺進行適當(dāng)轉(zhuǎn)動,如圖丙,直角頂點C始終在兩條平行線之間,點G在線段CD上,連接EG,且有∠CEG=∠CEM,求值.
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【題目】下列說法中:①0是最小的整數(shù);②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù);③非負數(shù)就是正數(shù);④不僅是有理數(shù),而且是分數(shù);⑤是無限不循環(huán)小數(shù),所以不是有理數(shù);⑥無限小數(shù)不都是有理數(shù);⑦正數(shù)中沒有最小的數(shù),負數(shù)中沒有最大的數(shù).其中錯誤的說法的個數(shù)為( )
A.7個B.6個C.5個D.4個
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A(4,0)、B(﹣2,0)兩點,與y軸交于點C,點P是線段AB上一動點(端點除外),過點P作PD∥AC,交BC于點D,連接CP.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)動點P運動到何處時,BP2=BDBC;
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時,求點P的坐標.
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【題目】操作思考:如圖1,在平面直角坐標系中,等腰的直角頂點C在原點,將其繞著點O旋轉(zhuǎn),若頂點A恰好落在點處則的長為______;點B的坐標為______直接寫結(jié)果
感悟應(yīng)用:如圖2,在平面直角坐標系中,將等腰如圖放置,直角頂點,點,試求直線AB的函數(shù)表達式.
拓展研究:如圖3,在直角坐標系中,點,過點B作軸,垂足為點A,作軸,垂足為點C,P是線段BC上的一個動點,點Q是直線上一動點問是否存在以點P為直角頂點的等腰,若存在,請求出此時P的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】(1)如圖①,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2)如圖②,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC中AB=AC,在AC上有一點D,連接BD,并延長至點E,使AE=AB.
(1)畫圖:作∠EAC的平分線AF,AF交DE于點F(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,連接CF,求證:∠ABE=∠ACF;
(3)若AC=8,∠E=15°,求三角形ABE的面積.
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