Question

【題目】如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上．過點(diǎn)A作AD⊥OC，垂足為點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線與弦BC交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）．

（1）當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求弦BC的長(zhǎng)；

（2）設(shè)OD＝x，＝y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)△AOD與△CDE相似時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）y＝；（3）

【解析】

（1）連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長(zhǎng)；

（2）連結(jié)BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．

解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．

∵F是中點(diǎn)，

∴OF⊥BC，BC＝2BH．

∴∠BOF＝∠COF．

∵OA＝OF，OC⊥AF，

∴∠AOC＝∠COF，

∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，

在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，

∵AB＝6，

∴OB＝3，

∴BH＝，

∴BC＝2BH＝3；

（2）如圖2，連結(jié)BF．

∵AF⊥OC，垂足為點(diǎn)D，

∴AD＝DF．

又∵OA＝OB，

∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．

∴，

∴，

即，

∴，

∴y＝．

（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去．

②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF．

∵OA＝OF，OB＝OC，

∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．

∵∠DCE＝∠DAO，

∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．

∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，

∴∠OAF＝30°，

∴OD＝．

即線段OD的長(zhǎng)為．