【題目】如圖,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點F為BE的中點,連接CF,DF.
(1)如圖1,當點D在AB上,點E在AC上時
①證明:△BFC是等腰三角形;
②請判斷線段CF,DF的關(guān)系?并說明理由;
(2)如圖2,將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時,請判斷(1)中②的結(jié)論是否仍然成立?并證明你的判斷.
【答案】(1)①證明見解析;②結(jié)論:CF=DF且CF⊥DF.理由見解析;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見解析.
【解析】分析:(1)、根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CF=BF=EF,根據(jù)∠CFD=2∠ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°得出∠CFD=90°,從而得出答案;(2)、延長DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,首先證明△BFG和△EFD全等,然后再證明△BCG和△ACD全等,從而得出GC=DC,∠BCG=∠ACD,∠DCG=∠ACB=90°,最后根據(jù)直角三角形斜中線的性質(zhì)得出答案.
詳解:(1)①證明:∵∠BCE=90°.EF=FB,∴CF=BF=EF,∴△BFC是等腰三角形.
②解:結(jié)論:CF=DF且CF⊥DF.理由如下:
∵∠ADE=90°,∴∠BDE=90°,又∵∠BCE=90°,點F是BE的中點,∴CF=DF=BE=BF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠5=∠1+∠3=2∠1,∠6=∠2+∠4=2∠2,
∴∠CFD=∠5+∠6=2(∠1+∠2)=2∠ABC,
又∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∴∠CFD=90°,
∴CF=DF且CF⊥DF.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
如圖,延長DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,∵F是BE的中點,∴BF=EF,
又∵∠BFG=∠EFD,GF=DF,∴△BFG≌△EFD(SAS),∴∠FBG=∠FED,BG=ED,
∴BG∥DE,∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形,
∴DE=DA,∠DAE=∠DEA=45°,AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°,
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣(180°﹣∠AEB﹣∠EAB)﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=(∠DEF+∠AEB)+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB,
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB,
∴∠CBG=∠DAC,又∵BG=ED,DE=DA,∴BG=AD,又∵BC=AC,
∴△BCG≌△ACD(SAS),∴GC=DC,∠BCG=∠ACD,
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,又∵F是DG的中點,∴CF⊥DF且CF=DF.
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【題目】目前節(jié)能燈在城市已基本普及,某商場計劃購進甲、乙兩種節(jié)能訂共1200只,這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表:
(1)如何進貨,進貨款恰好為46000元?
(2)為確保乙型節(jié)能燈順利暢銷,在(1)的條件下,商家決定對乙型節(jié)能燈進行打折出售,且全部售完后,乙型節(jié)能燈的利潤率為20%,請同乙型節(jié)能燈需打幾折?
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【題目】“金牛綠道行“活動需要租用、兩種型號的展臺,經(jīng)前期市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),用元租用的型展臺的數(shù)量與用元租用的型展臺的數(shù)量相同,且每個型展臺的價格比每個型展臺的價格少元.
(1)求每個型展臺、每個型展臺的租用價格分別為多少元(列方程解應(yīng)用題);
(2)現(xiàn)預(yù)計投入資金至多元,根據(jù)場地需求估計,型展臺必須比型展臺多個,問型展臺最多可租用多少個.
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【題目】小明在暑期社會實踐活動中,以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克瓜到市場上去銷售,銷售了40kg西瓜之后,余下的每千克降價0.4元,全部售完銷售金額與售出西瓜的千克數(shù)之間的關(guān)系如圖所示,小明這次賣瓜賺________元.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,E為對角線BD上一個動點,以E為直角頂點,AE為直角邊作等腰Rt△AEF,A、E、F按逆時針排列.當點E從點B運動到點D時,點F的運動路徑長為___________.
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【題目】給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形.
(1)以下四邊形中,是勾股四邊形的為 .(填寫序號即可)
①矩形;②有一個角為直角的任意凸四邊形;③有一個角為60°的菱形.
(2)如圖,將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE,∠DCB=30°,連接AD,DC,CE.
①求證:△BCE是等邊三角形;
②求證:四邊形ABCD是勾股四邊形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標為A(﹣3,4),B(﹣4,2),C(﹣2,1),△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1B1C1,將△A1B1C1向右平移6個單位,再向上平移2個單位得到△A2B2C2.
(1)畫出△A1B1C1和△A2B2C2;
(2)△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點A的對應(yīng)點分別為A1、A2,請寫出點A1、A2的坐標;
(3)P(a,b)是△ABC的邊AC上一點,△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點P的對應(yīng)點分別為P1,P2,請寫出點P1、P2的坐標.
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