Question

（2002•十堰）如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點A，BC是兩圓的公切線，B、C為切點，則有AB⊥AC．

（1）當⊙O₁向左運動，⊙O₂向右運動到圖1的位置時，BC仍為兩圓的公切線，O₁O₂交⊙O₁于A點，交⊙O₂于D點，BA、CD的延長線相交于E點．請判斷EB與EC是否垂直？并證明你的結論；

（2）當⊙O₁向右運動，⊙O₂向左運動到圖2的位置時，兩圓相交于A、D兩點，BC仍與兩圓相切．若∠D=46°，試求∠A的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接過切點的半徑，根據切線的性質定理，得到垂直，進一步證明平行線，根據平行線的性質，得到同旁內角互補，再結合弦切角定理，即可證明∠ABC+∠BCD=90°，根據三角形的內角和定理，即可證明不垂直；
（2）連接公共弦，根據弦切角定理，即可求得∠A所在的兩個三角形的和；從而根據三角形的內角和定理，求得∠A的度數．
解答：解：（1）連接O₁B，O₂C，
則O₁B⊥BC，O₂C⊥BC
則O₁B∥O₂C
∴∠O₁+∠O₂=180°
∴∠ABC+∠BCD=90°
則EB與EC不垂直；

（2）連接AD，
根據弦切角定理，得：
∠ABC=∠ADB，∠ACB=∠ADC
∴∠ABC+∠ACB=∠BDC=46°
∴∠BAC=180°-46°=134°．
點評：綜合運用了切線的性質定理和弦切角定理．連接過切點的半徑以及相交兩圓的公共弦是常見的輔助線．