Question

在上勞技課時(shí)，張老師拿出一張邊長(zhǎng)為2

3

的等邊△ABC紙片，現(xiàn)要在這塊紙片上裁剪出四個(gè)圓，若記這塊△ABC紙片的中心為M，半徑為m，在△ABC內(nèi)部畫一個(gè)⊙M后，再作三個(gè)半徑都為n的等圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃，使它們分別與△ABC的兩邊相切，與⊙M外切，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．
（1）寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求出m與n的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量n的取值范圍約在哪兩個(gè)數(shù)之間（精確到0.1）；
（3）若記這四個(gè)圓的面積總和為S，試問S有最小值嗎？若有，求出這個(gè)最小值，并寫出相應(yīng)的m值．

Answer 1

分析：（1）連接AM并延長(zhǎng)交BC于N，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BN，根據(jù)勾股定理求出AN，求出ON即可；
（2）連接DO₃，求出AO₃=2DO₃=2n，根據(jù)AN的長(zhǎng)度得到3=1+m+m+n+2n求出即可；
（3）根據(jù)圓的面積公式得到S=πm²+3πn²，代入求出即可．

解答：解：（1）連接AM并延長(zhǎng)交BC于N，
∵M(jìn)是等邊△ABC的中心，
∴AM=2NM，AN⊥BC，CN=BN，∠BAN=

1

2

∠BAC=30°，
由勾股定理得：AN=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴MN=1，
∴M（

3

，1），
答：點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

3

，1）．

（2）連接DO₃，
∵∠BAN=30°，∠O₃DA=90°，
∴AO₃=2DO₃=2n，
∴3=1+m+m+n+2n，
∴m=-3n+2，（0.3＜n＜0.6）；
答：m與n的函數(shù)關(guān)系式是m=-3n+2，并求自變量n的取值范圍約在0.3-0.6之間．

（3）S=πm²+3πn²=π（-3n+2）²+3πn²=π（12 n²-12n+4）=12π（n-0.5）²+π，
當(dāng)n=0.5，即m=0.5時(shí)，S有最小值，最小值為S=π．
答：S有最小值，這個(gè)最小值是π，m值是0.5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，相切兩圓的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．