Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；

（3）點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）令y=0，解x2-2x-3=0，可得AB的坐標(biāo)；將C的橫坐標(biāo)代入，易得其縱坐標(biāo)，結(jié)合A的坐標(biāo)，可得BC的方程；（2）設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出P、E的坐標(biāo)，可得PE長(zhǎng)度的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的取值范圍可得線段PE長(zhǎng)度的最大值．；（3）此類問(wèn)題一定是要分情況討論的，本題可以分為4種情況，做題時(shí)盡量避免漏掉解.

試題解析：解：（1）令y=0，解得或

∴A（-1，0）B（3，0）；

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）

∴直線AC的函數(shù)解析式是y="-x-1"

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2）

則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（2分）

∴當(dāng)時(shí)，PE的最大值=

（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-，0）．

綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．