Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是直徑AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，且∠F=∠ABC．

（1）如圖1，求證：直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）四邊形是平行四邊形，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）欲證明直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠ABF=90°．

（2）結(jié)論四邊形AEBF是平行四邊形，只要證明AE∥BF，AF∥BE即可．

（1）如圖1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB．

∵CD⊥AB，∴∠CPB=90°，∴∠ABF=90°，∴直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)．

（2）結(jié)論：四邊形AEBF是平行四邊形．證明如下：

如圖2中，連接AC、BD．

∵OA=OB，∴OC=OD，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AF∥BE．

又∵AE切⊙O于點(diǎn)A，∴AE⊥AB，同理BF⊥AB，∴AE∥BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．