Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的兩根是m，n且m＜n，如圖所示，若拋物線y=-x²+bx +c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）；
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 若（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，根據(jù)圖像回答，當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線的圖像在直線BC的上方？
（3） 點(diǎn)P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交與點(diǎn)E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵x2-4x+3=0的兩個(gè)根為x1=1，x2=3， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）， 又∵拋物線y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)， ∴得 ∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；
（2）作直線BC， 由（1）得，y=-x2-2x+3， ∵ 拋物線y=-x2-2x+3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C 令-x2-2x+3=0 解得：x1=1，x2=-3 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0） 由圖可知：當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖像在直線BC的上方；
（3）設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0）， 則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a2-2a+3） ∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分 ∴F是線段PE的中點(diǎn). 即F點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，） ∵直線BC過(guò)點(diǎn)B（0，3）和C（-3，0） 易得直線BC的解析式為y=x+3 ∵點(diǎn)F在直線BC上，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足直線BC的解析式 即=a+3 解得a1=-1，a2=-3（此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)C重合，舍去） ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）。