Question

【題目】如圖△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉90°至△DEF的位置，DF交BC于點H．

（1）PH=_____cm．

（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為_____cm2．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，由點P為斜邊BC的中點得到PC=BC=6，再根據旋轉的性質得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△PFH中計算出PH=PF=2；在Rt△CPM中計算出PM=PC=2，且∠PMC=60°，則∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2，則在Rt△FMN中可計算出MN=FM=3-，FN=MN=3-3，然后根據三角形面積公式和利用△ABC與△DEF重疊部分的面積=S△FPH-S△FMN進行計算即可．

解：如圖，

∵點P為斜邊BC的中點，
∴PB=PC=BC=6，
∵△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，

∴PH=PF=2，

在Rt△CPM中，∵∠C=30°，

∴PM=PC=2，∠PMC=60°，

∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
∴FM=PF-PM=6-2，

在Rt△FMN中，∵∠F=30°，

∴MN=FM=3-，

∴FN=MN=3-3，

∴△ABC與△DEF重疊部分的面積=S△FPH-S△FMN

= ，

=9（cm2）．
故答案為： ； 9．