Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥DC，垂足為點E，連接BE，點F為BE上一點，連接AF，∠AFE=∠D．

（1）求證：∠BAF=∠CBE；

（2）若AD=5，AB=8，sinD=．求證：AF=BF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）根據相似三角形的判定，易證△ABF∽△BEC，從而可以證明∠BAF=∠CBE成立；

（2）根據銳角三角函數和三角形的相似可以求得AF的長

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，

∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，

∴∠C=∠AFB，

∴△ABF∽△BEC，

∴∠BAF=∠CBE；

（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=，

∴AE=4，DE=3

∴EC=5

∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得：BE=

∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，

∴ ==

即 ==

解得：AF=BF=2