Question

如圖，把菱形ABCD沿著BD的方向平移到菱形A′B′C′D^/′的位置．
（1）求證：重疊部分的四邊形B′EDF是菱形；
（2）若重疊部分的四邊形B′EDF′面積是把菱形ABCD面積的一半，且BD=

2

，求則此菱形移動的距離．

Answer 1

分析：（1）根據平移的性質和菱形的性質，可以首先證明它是一個平行四邊形，再根據等腰三角形的性質和判定證明其一組鄰邊相等，即可證明它是一個菱形；
（2）根據相似多邊形的面積比是相似比的平方，可以計算出小菱形的邊，再進一步計算其平移的距離．

解答：（1）證明：有平移的特征知A′B′∥AB，又CD∥AB，
∴A′B′∥CD，同理B′C′∥AD．
∴四邊形BEDF為平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∴∠ABD=∠ADB．
又∵∠A′B′D=∠ABD，
∴∠A′B′D=∠ADB．
∴FB′=FD．
∴四邊形B′EDF為菱形．

（2）解：∵菱形B′EDF與菱形ABCD有一個公共角，
∴此兩個菱形對應角相等又對應邊成比例．
∴此兩個菱形相似．
∵S_菱形ABCD：S_菱形FB'ED=2：1，
∴

B′D

BD

=

1 2

．
∴B′D=

2

2

×

2

=1．
∴平移的距離BB′=BD-B′D=

2

-1．

點評：此題綜合考查了平移的性質、菱形的性質和相似多邊形的性質．只要抓住事物本質的東西，問題就可以迎刃而解了．