Question

如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O₁與⊙O的弦AC相交于點(diǎn)D，DE⊥OC，垂足為E．
求證：（1）AD=CD；（2）DE是⊙O₁的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得出∠ODA=90°，根據(jù)垂徑定理即可得到答案；
（2）連接O₁D，根據(jù)三角形的中位線定理推出O₁D∥OC，由DE⊥OC得到O₁D⊥DE，根據(jù)切線的判定即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OD、，
∵OA是圓O₁的直徑，
∴∠ODA=90°，
即：OD⊥AC，
∵OD過圓心O，
∴AD=DC．

（2）證明：連接O₁D，
∵AD=DC，O₁A=O₁O，
∴O₁D是△AOC的中位線，
∴O₁D∥OC，
∵DE⊥OC，
∴O₁D⊥DE，
∵O₁D是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O₁的切線．
點(diǎn)評：本題主要考查對圓周角定理，三角形的中位線定理，平行公理及推論，切線的判定，垂線的定義等知識點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．