【題目】如圖,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2 的一個(gè)定點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)M,交直線y=﹣x于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=30°,BA⊥PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是 .
【答案】2
【解析】解:由題意可知,OM=2 ,點(diǎn)N在直線y=﹣x上,AC⊥x軸于點(diǎn)M,則△OMN為等腰直角三角形,ON= OM= ×2 = .
如答圖①所示,
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)(起點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為B0 , 動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)(終點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為Bn , 連接B0Bn
∵AO⊥AB0 , AN⊥ABn , ∴∠OAC=∠B0ABn ,
又∵AB0=AOtan30°,ABn=ANtan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°(此處也可用30°角的Rt△三邊長的關(guān)系來求得),
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,
∴B0Bn=ONtan30°= × =2 .
現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).
如答圖②所示,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí),設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi , 連接AP,ABi , B0Bi
∵AO⊥AB0 , AP⊥ABi , ∴∠OAP=∠B0ABi ,
又∵AB0=AOtan30°,ABi=APtan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn ,
∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).
綜上所述,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡)是線段B0Bn , 其長度為 .
所以答案是: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示是一個(gè)長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形,然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形.
(1)按要求填空:
①你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于 ;
②請用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積:
方法1:
方法2:
③觀察圖②,請寫出代數(shù)式(m+n)2,(m﹣n)2,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系: ;
(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示,如圖③,它表示了 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某公路(可視為軸)的同一側(cè)有A、B、C三個(gè)村莊,要在公路邊建一貨棧D,向A、B、C三個(gè)村莊送農(nóng)用物資,路線是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D.試問在公路邊是否存在一點(diǎn)D,使送貨路線之和最短?若存在,請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)D所在的位置,簡要說明作法;若不存在,請說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點(diǎn)E,使CE=2,連接DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t的值為( )秒時(shí),△ABP和△DCE全等.
A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知P是⊙O外一點(diǎn),PO交圓O于點(diǎn)C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度數(shù)為120°,連接PB.
(1)求BC的長;
(2)求證:PB是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形的邊長為4厘米,長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)開始時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止),過點(diǎn)、分別作邊的垂線,與的其他邊交于、兩點(diǎn).線段在運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)、、、圍成的圖形的面積為平方厘米,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.則大致反映與變化關(guān)系的圖像是( )
A. .
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(0,2)、B( ,2)、C(0,4),過點(diǎn)C向右作平行于x軸的射線,點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn),連接AP,以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ,連接PB、BA.若四邊形ABPQ為梯形,則:
(1)當(dāng)AB為梯形的底時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是;
(2)當(dāng)AB為梯形的腰時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下述命題中,真命題有( )
(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
(2)三個(gè)角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形
(3)對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形
(4)三邊之比為1: :2的三角形是直角三角形.
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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