Question

（2007•莆田）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥AB分別交AB，CD于M，N，連接BE交MN于點(diǎn)O，過O作OP⊥BE分別交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，請你動(dòng)手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜測AE與MP+NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你所猜測的結(jié)論；
探究：（2）如圖②，若點(diǎn)E在DA的延長線上時(shí)，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣請直接寫出結(jié)論；
再探究：（3）如圖③，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點(diǎn)E分別在線段DH和射線HG上時(shí)，請?jiān)趫D③中完成符合題意的圖形，并判斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）過Q作QQ'⊥AB于Q'，則∠MQ′Q=90°，證明四邊形AMND為矩形，然后又證明四邊形MNOQ′為矩形，最后可證明△BAE≌△QQ′P后可證得AE=MP+NQ．
（2）畫出圖形可得若點(diǎn)E在DA的延長線上時(shí)，結(jié)論為AE=QN-MP
（3）畫出輔助線，可得若點(diǎn)E₁在線段DH上時(shí)，結(jié)論為AE₁=MP₁+NQ₁；當(dāng)點(diǎn)E₂在射線HG上時(shí)，推出AE₂=MP₂-NQ₂．
解答：解：（1）如圖①結(jié)論：AE=MP+NQ．（2分）
證明：過Q作QQ'⊥AB于Q'，
則∠MQ′Q=90°，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形AMND為矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四邊形MNQQ′為矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．（6分）

（2）如圖②，若點(diǎn)E在DA的延長線上時(shí)，結(jié)論AE=QN-MP．（8分）

（3）如圖，若點(diǎn)E₁在線段DH上時(shí)，結(jié)論：AE₁=MP₁+NQ₁．（10分）
若點(diǎn)E₂在射線HG上時(shí)，結(jié)論：AE₂=MP₂-NQ₂．（12分）
點(diǎn)評：本題考查全等三角形的判定定理以及正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．