Question

【題目】如圖，在中，，，，E為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PE，將沿著邊PE折疊，折疊后得到，當(dāng)折疊后與的重疊部分的面積恰好為面積的四分之一，則此時(shí)BP的長為______．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根據(jù)勾股定理求出BC．①若PA′與AB交于點(diǎn)F，連接A′B，如圖1，易得S△EFP=S△BEP=S△A′EP，即可得到EF=BE=BF，PF=A′P=A′F．從而可得四邊形A′EPB是平行四邊形，即可得到BP=A′E，從而可求出BP；②若EA′與BC交于點(diǎn)G，連接AA′，交EP與H，如圖2，同理可得GP=BG，EG=EA′=1，根據(jù)三角形中位線定理可得AP=2=AC，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合（BP=BC），從而可求出BP．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E為斜邊AB的中點(diǎn)，

∴AB=4，AE=AB=2，BC=2．

①若PA′與AB交于點(diǎn)F，連接A′B，如圖1．

由折疊可得S△A′EP=S△AEP，A′E=AE=2，．

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴S△BEP=S△AEP=S△ABP．

由題可得S△EFP=S△ABP，

∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A′EP，

∴EF=BE=BF，PF=A′P=A′F．

∴四邊形A′EPB是平行四邊形，

∴BP=A′E=2；

②若EA′與BC交于點(diǎn)G，連接AA′，交EP與H，如圖2．

．

同理可得GP=BP=BG，EG=EA′=×2=1．

∵BE=AE，∴EG=AP=1，

∴AP=2=AC，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

∴BP=BC=2．

故答案為2或2．