Question

已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰與底相交所成的銳角為60°，動點P在線段BC上運動（ 點P不與B、C點重合），并且∠APQ=60°，PQ交射線CD于點Q，若CQ=y，BP=x，
（1）求下底BC的長．
（2）求y與x的函數(shù)解析式，并指出當點P運動到何位置時，線段CQ最長，最大值為多少？
（3）在（2）的條件下，當CQ最長時，PQ與AD交于點E，求QE的長．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE∥AB，交BC于E，得到?ABED和等邊△DEC，則BC=BE+EC=5；
（2）根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似證明出△CPQ∽△BAP，由相似三角形對應邊成比例得到CQ：BP=CP：BA，則y=-

1

2

x²+

5

2

x，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得當x=

5

2

，即當點P運動到BC中點時，線段CQ有最大值

25

8

；
（3）在（2）的條件下，當CQ最長時，BP=CP=

5

2

，CQ=

25

8

，則QD=

9

8

．先由DE∥CP，得出△QDE∽△QCP，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，求出DE=

9

10

，并且得出QE：QP=9：25，那么可設QE=9k，QP=25k．再根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似證明△DEQ∽△PEA，DE：PE=EQ：EA，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出

9

10

：16k=9k：

21

10

，解方程求出k=

21

40

，進而得到QE的長度．

解答：解：（1）如圖1，過點D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE=AD=3，DE=AB=DC=2，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=60°，
∴△DEC為等邊三角形，
∴EC=DC=2，
∴BC=BE+EC=3+2=5；

（2）如圖2，在△CPQ與△BAP中，
∵

∠C=∠B=60° ∠1=∠2=120°-∠3

，
∴△CPQ∽△BAP，
∴CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2，
∴y=-

1

2

x²+

5

2

x，
當x=

- 5 2

2×(- 1 2 )

=

5

2

，即當點P運動到BC中點時，線段CQ最長，
此時最大值為

0-( 5 2 )2

4×(- 1 2 )

=

25

8

；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當CQ最長時，BP=CP=

5

2

，CQ=

25

8

，
∴QD=CQ-CD=

25

8

-2=

9

8

．
∵DE∥CP，
∴△QDE∽△QCP，
∴QE：QP=DE：CP=QD：QC，
即QE：QP=DE：

5

2

=

9

8

：

25

8

=9：25，
∴可設QE=9k，QP=25k，且DE=

9

10

，
∴PE=QP-QE=16k，AE=AD-DE=3-

9

10

=

21

10

．
在△DEQ與△PEA中，
∵

∠QDE=∠APE=60° ∠QED=∠AEP

，
∴△DEQ∽△PEA，
∴DE：PE=EQ：EA，
∴

9

10

：16k=9k：

21

10

，
解得k=

21

40

，
∴QE=9k=

9 21

40

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質，相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的性質，綜合性較強，有一定難度．