Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，求當(dāng)四邊形OBMN為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，-3）；（3）N或．

【解析】

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；

（2）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式即可求得A、B、C的坐標(biāo)；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP＋BP的長最小；由于A、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接BC，那么BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)OBMN為平行四邊形，得到OB=NM=5且OB∥NM,設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x,x-5），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（x,）得到NM=（x-5）-(),令NM=5即可解出x,即可求解.

（1）根據(jù)題意，得，

解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x24x5；

（2）令y＝0，得二次函數(shù)y＝x24x5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)C（5，0）；

由于P是對(duì)稱軸x＝2上一點(diǎn)，

連接AB，由于AB＝，

要使△ABP的周長最小，只要PA＋PB最��；

由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得PA＋PB的最小值為BC；

因而BC與對(duì)稱軸x＝2的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，

根據(jù)題意可得

解得

所以直線BC的解析式為y＝x5；

因此直線BC與對(duì)稱軸x＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，

解得，

所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；

（3）∵OBMN為平行四邊形，

∴OB=NM=5且OB∥NM,

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x,x-5），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（x,）

∴NM=（x-5）-(),

令NM=5即（x-5）-()=5，

解得x1=，x2=

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．