Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒
（1）直接寫(xiě)出梯形ABCD的中位線長(zhǎng)；
（2）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；
（3）試探究：t為何值時(shí)，△CMN為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用梯形中位線的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）因?yàn)槿�邊中，每�(jī)蓷l邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×時(shí)間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．
解答：解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位線長(zhǎng)為：（3+10）÷2=6.5；

（2）如圖1，過(guò)D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵M(jìn)N∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴=，
即=．
解得，t=；

（3）分三種情況討論：
①當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖2，即t=10-2t，
解得：t=；
②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖3，過(guò)N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三線合一性質(zhì)得
EC=MC=（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC==，
∴=．
解得：t=；
③當(dāng)MC=MN時(shí)，如圖4，過(guò)M作MF⊥CN于F點(diǎn)，F(xiàn)C=NC=t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴=，
即=，
解得：t=．
綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時(shí)，△MNC為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，注意梯形中常見(jiàn)的輔助線：平移一腰、作兩條高．構(gòu)造等腰三角形的時(shí)候的題目，注意分情況討論．此題的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，能夠從中發(fā)現(xiàn)平行四邊形、等腰三角形等，根據(jù)它們的性質(zhì)求解．