【題目】菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上.
(1)如圖1,若E是BC的中點(diǎn),∠AEF=60°,求證:BE=DF;
(2)如圖2,若∠EAF=60°,求證:△AEF是等邊三角形.

【答案】證明:(1)連接AC,
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC=CD,∠C=180°﹣∠B=120°,
∴△ABC是等邊三角形,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴AE⊥BC,
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°,
∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°,
∴∠FEC=∠CFE,
∴EC=CF,
∴BE=DF;
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠B=∠ACF=60°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
∴∠AEB=∠AFC,
在△ABE和△ACF中,

∴△ABE≌△ACF(AAS),
∴AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等邊三角形.

【解析】(1)首先連接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根據(jù)菱形的性質(zhì),易得△ABC是等邊三角形,又由三線合一,可證得AE⊥BC,繼而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,繼而證得BE=DF;
(2)首先由△ABC是等邊三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì),可求得∠AEB=∠AFC,證得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,證得:△AEF是等邊三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. 16 C. D. 24

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