Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線C1：y=﹣ x2+bx+c過A、B兩點，與x軸另一交點為C．

（1）求拋物線解析式及C點坐標(biāo)．
（2）向右平移拋物線C1 ， 使平移后的拋物線C2恰好經(jīng)過△ABC的外心，拋物線C1、C2相交于點D，求四邊形AOCD的面積．
（3）已知拋物線C2的頂點為M，設(shè)P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為拋物線C1上一點，是否存在以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，

∴令x=0，可得y=4，則點A的坐標(biāo)為A（0，4），

令y=0，可得x=﹣2，則點B的坐標(biāo)為（﹣2，0），

將A（0，4），B（﹣2，0）代入y=﹣ x2+bx+c，

可得 ，

解得 ，

∴拋物線C1的解析式為：y=﹣ x2+ x+4，

令y=0，則﹣ x2+ x+4=0，

解得x=8，

∴C點坐標(biāo)為C（8，0）；

（2）解：如圖1，

連接AC，

由（1）知，C（8，0），A（0，4），B（﹣2，0），

∴AC2=AO2+OC2=80，AB2=AO2+OB2=20，BC2=102=100，

∴BC2=AC2+AB2，

∴△ABC是直角三角形．

設(shè)△ABC的斜邊BC的中點為E，則CE= ×（8+2）=5，

∴OE=CO﹣CE=3

∴△ABC的斜邊BC的中點E的坐標(biāo)為（3，0），

∵拋物線C2恰好經(jīng)過△ABC的外心，E為△ABC的外心，

∴OF=3+10=13，即F（13，0），

由E（3，0），F(xiàn)（13，0），得拋物線C2：y=﹣ （x﹣3）（x﹣13）=﹣ x2+4x﹣ ，

聯(lián)立方程組 ，

解得 ，即D（ ， ），

如圖2，

連接AD，OD，CD，則

S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD= ×4× + ×8× = ，

∴四邊形AOCD的面積為 ；

（3）解：存在．點P的坐標(biāo)為（3，0）或（3，﹣ ）或（3，﹣25）．

分3種情況：

①如圖，當(dāng)四邊形BPMQ為平行四邊形時，BP∥QM，BP=QM，

∵拋物線C1中，Q（3， ），拋物線C2中，M（8， ）

∴由平移方向可得QM∥x軸，QM=5=BE，

∴BP與x軸重合，

∴點P與點E重合，即P（3，0）；

②如圖，當(dāng)四邊形BQPM為平行四邊形時，PQ∥MB，

∵根據(jù)點M與點P的位置可知，點M與點P的水平距離為8﹣3=5，

∴點Q與點B的水平距離為5，即點Q的橫坐標(biāo)為﹣7，

在拋物線C1中，當(dāng)x=﹣7時，y=﹣ ，即Q（﹣7，﹣ ），

∵根據(jù)點M與點B的位置可知，點M與點B的鉛垂距離為 ，

∴點Q與點P的鉛垂距離為 ，即點P離y軸的距離為 ﹣ = ，

∴P（3，﹣ ）；

③如圖，當(dāng)四邊形PQMB為平行四邊形時，PQ∥BM，

∵根據(jù)點B與點P的位置可知，點B與點P的水平距離為3﹣（﹣2）=5，

∴點Q與點M的水平距離為5，即點Q的橫坐標(biāo)為8+5=13，

在拋物線C1中，當(dāng)x=13時，y=﹣ ，即Q（13，﹣ ），

∵根據(jù)點M與點Q的位置可知，點M與點Q的鉛垂距離為 ﹣（﹣ ）=25，

∴點B與點P的鉛垂距離為25，即點P離y軸的距離為25，

∴P（3，﹣25）．

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運用，綜合性較強，需要綜合運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識．在解題時要利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，要注意分類討論思想的應(yīng)用．（1）先根據(jù)直線y=2x+4，求得點A和點B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線C1過A、B兩點，運用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，最后令y=0，求得C點坐標(biāo)；（2）先證明△ABC是直角三角形，求得△ABC的斜邊BC的中點E的坐標(biāo)，再結(jié)合F點坐標(biāo)求得拋物線C2的解析式，再聯(lián)立方程組并解出交點D的坐標(biāo)，最后根據(jù)S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD ， 即可得出四邊形AOCD的面積；（3）根據(jù)以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形，分情況討論可能的情形，根據(jù)平行四邊形頂點的位置即可得出P點坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和平移的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等才能正確解答此題．