Question

（1）問題探究
如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，過點C作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分別為點M，N，試探究線段D₁M與線段D₂N的數(shù)量關系，并加以證明。
（2）拓展延伸
①如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K₁H₁，K₂H₂，分別交直線AB于點H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁，作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分別為點M，N，D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由。
②如圖3，若將①中的”，其他條件不變.D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明）

Answer 1

解：（1）D₁M=D₂N.
證明：∵∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠D₁CK=90°
∵∠AHK=∠ACD₁=90°
∴∠ACH+∠HAC=90°
∴∠D₁CK=∠HAC
∵AC=CD₁，
∴△ACH≌△CD₁M
∴D₁M=CH.
同理可證D₂N=CH
∴D₁M=D₂N.
（2）①證明：D₁M=D₂N成立
過點C作CG⊥AB，垂足為點G.
∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，
∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM.
∵AC=CD₁，∠AGC=∠CMD₁=90°，
∴△ACG≌△CD₁M.
同理可證CG=D₂N.
∴D₁M=D₂N.
②作圖
D₁M=D₂N還成立.