Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，線段的垂直平分線分別交邊、于點(diǎn)、，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）順次連接、、、，設(shè)四邊形的面積為，求出與自變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），的最小值為2

【解析】

（1）由四邊形是正方形得到，，又由，利用ASA即可證得；

（2）分為兩種情況：①當(dāng)在上時(shí)，由點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，又由勾股定理求得，由得到的值，又求得面積，由范圍得到的最小值；②當(dāng)在上時(shí)，同法可求的最小值．

解：（1）證明：∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴四邊形、都是矩形，

∴，，，

∴MF=QE

又∵，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴；

（2）解：分為兩種情況：①當(dāng)在上時(shí)，

∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵0≤AE≤AP

∴，

∴當(dāng)時(shí)，．

②當(dāng)在上時(shí)，

∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵AP≤AE≤AB

∴，

∴當(dāng)時(shí)，．

綜上：，的最小值為2．