Question

【題目】在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中．點(diǎn)A，B，D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E、F分別為線(xiàn)段BC、DB上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF．

（1）如圖①，當(dāng)BE=時(shí)，計(jì)算AE+AF的值等于 ；

（2）當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D②所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線(xiàn)段AE，AF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置如何找到的（不要求證明） ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）取格點(diǎn)H，K，連接BH，CK，相交于點(diǎn)P，連接AP，與BC相交，得點(diǎn)E，取格點(diǎn)M，N連接DM，CN，相交于點(diǎn)G，連接AG，與BD相交，得點(diǎn)F，線(xiàn)段AE，AF即為所求．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理可得：DB==5，因?yàn)锽E=DF=，所以可得AF=BD=2.5，根據(jù)勾股定理可得：AE==，所以AE+AF==，故答案為：；

（2）如圖，

首先確定E點(diǎn)，要使AE+AF最小，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知，需要將AF移到AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，因此可以構(gòu)造全等三角形，首先選擇格點(diǎn)H使∠HBC=∠ADB，其次需要構(gòu)造長(zhǎng)度BP使BP=AD=4，根據(jù)勾股定理可知BH==5，結(jié)合相似三角形選出格點(diǎn)K，根據(jù)，得BP=BH=×5=4=DA，易證△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，線(xiàn)段AP即為所求的AE+AF的最小值；同理可確定F點(diǎn)，因?yàn)锳B⊥BC，因此首先確定格點(diǎn)M使DM⊥DB，其次確定格點(diǎn)G使DG=AB=3，此時(shí)需要先確定格點(diǎn)N，同樣根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，得DG=DM=×5=3，易證△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故線(xiàn)段AG即為所求的AE+AF的最小值．

故答案為：取格點(diǎn)H，K，連接BH，CK，相交于點(diǎn)P，連接AP，與BC相交，得點(diǎn)E，取格點(diǎn)M，N連接DM，CN，相交于點(diǎn)G，連接AG，與BD相交，得點(diǎn)F，線(xiàn)段AE，AF即為所求．