Question

如圖1，已知四邊形OABC中的三個頂點坐標為O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．動點P從點O出發(fā)依次沿線段OA，AB，BC向點C移動，設移動路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數， m＞1，n＞0．

（1）請你確定n的值和點B的坐標；

（2）當動點P是經過點O，C的拋物線y＝ax＋bx＋c的頂點，且在雙曲線y＝上時，求這時四邊形OABC的面積．

Answer 1

解：(1) 從圖中可知，當P從O向A運動時，△POC的面積S＝mz， z由0逐步增大到2,則S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 .

同理，AB＝1，故點B的坐標是(1，2).

(2)解法一：

∵拋物線y＝ax＋bx＋c經過點O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，

∴拋物線為y＝ax－amx，頂點坐標為(，－am²)

如圖1，設經過點O，C，P的拋物線為l.當P在OA上運動時，O,P都在y軸上，

這時P,O,C三點不可能同在一條拋物線上，∴這時拋物線l不存在, 故不存在m的值..①

當點P與C重合時，雙曲線y＝不可能經過P,故也不存在m的值.②

當P在AB上運動時，即當0<x≤1時，y＝2，

拋物線l的頂點為P(，2).

∵P在雙曲線y＝上，可得 m＝，∵>2,與 x＝≤1不合，舍去.③

容易求得直線BC的解析式是：

當P在BC上運動，設P的坐標為  (x,y)，當P是頂點時 x＝，

故得y＝＝，頂點P為(，)，

∵1< x＝<m，∴m>2，又∵P在雙曲線y＝上，

于是，×＝，化簡后得5m－22m＋22＝0,

解得,,

與題意2<x＝<m不合,舍去.④

故由①②③④，滿足條件的只有一個值：.

這時四邊形OABC的面積＝＝.

(2)解法二：

∵拋物線y＝ax＋bx＋c經過點O(0，0)，C(m ，0)

∴c＝0，b＝－am，

∴拋物線為y＝ax－amx，頂點坐標P為(，－am²).

∵m＞1，∴＞0，且≠m，

∴P不在邊OA上且不與C重合.

∵P在雙曲線y＝上，∴×(－ am²)＝即a＝－ .

.①當1＜m≤2時，＜≤1，如圖2,分別過B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，

此時點P在線段AB上，且縱坐標為2，

∴－am²＝2，即a＝－.

而a＝－ ，∴－ ＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合題意，舍去.

②當m≥2時，＞1，如圖3,分別過B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，ON＞OM，

此時點P在線段CB上，易證Rt△BMC∽Rt△PNC，

∴BM∶PN＝MC∶NC，即:  2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝

而P的縱坐標為－ am²，∴＝－ am²，即a＝

而a＝－，∴－ ＝

化簡得：5m²－22m＋22＝0.解得：m＝ ，

但m≥2，所以m＝舍去，

取m ＝ .

由以上,這時四邊形OABC的面積為：

(AB＋OC) ×OA＝(1＋m) ×2＝