【題目】二次函數(shù)y=的圖象與x軸交于點A和點B,以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD,點P是x軸上一動點,連接DP,過點P作DP的垂線與y軸交于點E.
(1)求出m的值并求出點A、點B的坐標.
(2)當點P在線段AO(點P不與A、O重合)上運動至何處時,線段OE的長有最大值,求出這個最大值;
(3)是否存在這樣的點P,使△PED是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)m=﹣2,A(﹣3,0),B(1,0);(2)P為AO中點時,OE的最大值為;(3)存在,見解析.
【解析】
(1)利用二次函數(shù)的定義求出m的知,再令y=0即可得出點A,B坐標;
(2)設(shè)PA=t(-3<t<0),則OP=3-t,如圖1,證明△DAP∽△POE,利用相似比得到OE=- ,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;
(3)討論:當點P在y軸左側(cè)時,如圖2,DE交AB于G點,證明△DAP≌△POE得到PO=AD=4,則PA=1,OE=1,再利用平行線分線段成比例定理計算出AG= ,則計算S△DAG即可得到此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;當P點在y軸右側(cè)時,如圖3,DE交AB于G點,DP與BC相交于Q,同理可得△DAP≌△POE,則PO=AD=4,PA=7,OE=7,再利用平行線分線段成比例定理計算出OG和BQ,然后計算S四邊形DGBQ得到此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積.當點P和點A重合時,點E和和點O重合,此時,△PED不是等腰三角形.
(1)∵二次函數(shù)y=(m﹣1)﹣6x+9,
∴m2+m=2且m﹣1≠0,
∴m=﹣2,
∴二次函數(shù)解析式為y=﹣3x2﹣6x+9,
令y=0,
∴0=﹣3x2﹣6x+9,
∴x=1或x=﹣3,
∴A(﹣3,0),B(1,0);
(2)設(shè)PA=t(﹣3<t<0),則OP=3﹣t,
∵DP⊥PE,
∴∠DPA=∠PEO,
∴△DAP∽△POE,
∴,即,
∴OE=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,
∴當t=時,OE有最大值,
即P為AO中點時,OE的最大值為;
(3)存在.
當點P在y軸左側(cè)時,如圖1,DE交AB于G點,
∵PD=PE,∠DPE=90°,
∴△DAP≌△POE,
∴PO=AD=4,
∴PA=1,OE=1,
∵AD∥OE,
∴=4,
∴AG=,
∴S△DAG=××4=,
∴P點坐標為(﹣4,0),此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為;當P點在y軸右側(cè)時,如圖2,DE交AB于G點,DP與BC相交于Q,同理可得△DAP≌△POE,
∴PO=AD=4,
∴PA=7,OE=7,
∵AD∥OE,
∴,
∴OG=,
同理可得BQ=,
∴S四邊形DGBQ=×(+1)×4+×4×=
∴當點P的坐標為(4,0)時,此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為.
當點P和點A重合,此時,點E和點O重合,∴DP≠OP,此時,△PDE不是等腰三角形.
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【題目】閱讀材料,解答問題.
材料:“小聰設(shè)計的一個電子游戲是:一電子跳蚤從這P1(﹣3,9)開始,按點的橫坐標依次增加1的規(guī)律,在拋物線y=x2上向右跳動,得到點P2、P3、P4、P5…(如圖1所示).過P1、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x軸,垂足為H1、H2、H3,則S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3﹣S梯形P1H1H2P2﹣S梯形P2H2H3P3=(9+1)×2﹣(9+4)×1﹣(4+1)×1,即△P1P2P3的面積為1.”
問題:
(1)求四邊形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面積(要求:寫出其中一個四邊形面積的求解過程,另一個直接寫出答案);
(2)猜想四邊形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面積,并說明理由(利用圖2);
(3)若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2+bx+c,其它條件不變,猜想四邊形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面積(直接寫出答案).
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線,與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△PBD∽△DCA;
(3)當AB=6,AC=8時,求線段PB的長.
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【題目】如圖,某小型水庫欄水壩的橫斷面是四邊形ABCD,DC∥AB,測得迎水坡的坡角α=30°,已知背水坡的坡比為1.2:1,壩頂部DC寬為2m,壩高為6m,則壩底AB的長為_____m.
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【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,四邊形OABC是矩形,OA在x軸的負半軸上,OC在y軸的正半軸上.
Ⅰ若,.
如圖1,將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形,當點A的對應(yīng)點落在BC邊上時,求點的坐標;
如圖,將矩形OABC繞點O順時針方向旋得到矩形,當點B的對應(yīng)點落在軸的正半軸上時,求點的坐標;
Ⅱ若,,如圖3,設(shè)邊與BC交于點E,若,請直接寫出的值.
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【題目】如圖,大樓(可以看作不透明的長方體)的四周都是空曠的水平地面.地面上有甲、乙兩人,他們現(xiàn)在分別位于點和點處,、均在的中垂線上,且、到大樓的距離分別為米和米,又已知長米,長米,由于大樓遮擋著,所以乙不能看到甲.若乙沿著大樓的外面地帶行走,直到看到甲(甲保持不動),則他行走的最短距離長為________米.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM周長最小時,求點M的坐標及△ACM的最小周長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=2x2+m.(1)若點(-2,y1)與(3,y2)在此二次函數(shù)的圖象上,則y1_________y2(填“>”、“=”或“<”);(2)如圖,此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,-4),正方形ABCD的頂點C、D在x軸上,A、B恰好在二次函數(shù)的圖象上,求圖中陰影部分的面積之和.
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