Question

如圖，已知AB=12，點(diǎn)C、D在AB上，且AC=DB=2，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點(diǎn)G，則下列說(shuō)法中正確的有（　　） 
①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G；②△EFP的外接圓與AB相切；
③四邊形AEFB的面積不變；④EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4．

A、1個(gè)

B、2個(gè)

C、3個(gè)

D、4個(gè)

Answer 1

分析：分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線MN．再求出CD的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度即可確定④正確；又由G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，可知②正確．故可求得答案．

解答：解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分．
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴G也為PH中點(diǎn)，
即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，
∴G的運(yùn)行軌跡為△HCD的中位線MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為4．
故④EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4，正確；
∵G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G，正確．
∴①④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形外接圓的知識(shí)以及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也很復(fù)雜，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn)．