Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，D（﹣1，4）；（2）當(dāng)x=時(shí)，S取最大值

【解析】

（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組，然后求得a、b的值可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線AD的解析式，然后可得到P（x，2x+6）．接下來依據(jù)S=PEyP可得到S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值以及此時(shí)x的值．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)

∴，

解得，

∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）．

（2）設(shè)AD為解析式為y=kx+b，且過點(diǎn)A（﹣3，0），D（﹣1，4），

則有，解得

∴AD的解析式為：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S =PEyP=（﹣x）（2x+6）

=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

當(dāng)x=時(shí)，S取最大值．