Question

（2005•郴州）附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）．?
（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，△ADE、△BCE和△CDE的面積之間有著怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．
（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？為什么？ABCD是平行四邊形呢？
（3）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．?

Answer 1

【答案】分析：正方形，矩形，平行四邊形圖形中的三個三角形都是等高的三角形，它們的面積關(guān)系，就要看底邊的關(guān)系了，由于AE+EB=CD，所以S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE在這三個圖形中都成立；梯形不具備這一特征，就不一定成立．
解答：解：①S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE?
方法1：同底同高?
S_△ADE+S_△BCE=．
方法2：因為過E作EF∥BC交DC于F，則四邊形AEFD和EBCF是矩形
所以S_△AED=S_△EFD，S_△EBC=S_△EFC，?
所以S_△ADE+S_△BCE=S_△EFD+S_△EFC=S_△DEC．

②四邊形ABCD是矩形時（1）中結(jié)論成立，方法同上
當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，結(jié)論還是成立．

③當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，①中結(jié)論當(dāng)E點為AB中點時成立，其它情況不成立不成立．
理由如下：
設(shè)S_△ADE=S₁，S_△BCE=S₂，S_△DEC=S₃，
梯形ABCD上底為a，下底為b面積為S，如圖．
則=
如果S_△ADE+S_△BCE=S_△DEC，則有，a（h₁-h₂）=b（h₁-h₂）．
如果h₁=h₂，則E為AB中點，如果h₁≠h₂，則a=b，四邊形ABCD是平行四邊形．
點評：解答本題要充分利用正方形、矩形，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)；觀察圖形的底與高的關(guān)系，利用等底，等高的兩個三角形面積相等，確定三角形的面積關(guān)系．