Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．

(1)當α＝60°時，求CE的長；
(2)當60°＜α＜90°時，
①是否存在正整數k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
②連接CF，當CE²－CF²取最大值時，求tan∠DCF的值．

Answer 1

（1）5  （2）①存在k＝3  ②

分析：(1)利用60°角的正弦值列式計算即可得解；
(2)①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF＝GF，再根據AB、BC的長度可得AG＝AF，然后利用等邊對等角的性質可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，從而得解；
②設BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，從而得到CF²，然后相減并整理，再根據二次函數的最值問題解答．

解：(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝，
即sin60°＝＝，解得CE＝5；
(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.
理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，如圖所示，∵F為AD的中點，
∴AF＝FD，
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，
∵CE⊥AB，
∴EF＝GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，∴∠AEF＝∠G，
∵AB＝5，BC＝10，點F是AD的中點，
∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，
∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，
在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，
又∵∠CFD＝∠AFG(對頂角相等)，
∴∠CFD＝∠AEF，
∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，
因此，存在正整數k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；
②設BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，
∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，
在Rt△BCE中，CE²＝BC²－BE²＝100－x²，
在Rt△CEG中，CG²＝EG²＋CE²＝(10－x)²＋100－x²＝200－20x，
∵CF＝GF(①中已證)，
∴CF²＝＝CG²＝(200－20x)＝50－5x，
∴CE²－CF²＝100－x²－50＋5x
＝－x²＋5x＋50＝－＋50＋，
∴當x＝，即點E是AB的中點時，
CE²－CF²取最大值，
此時，EG＝10－x＝10－＝，
CE＝＝＝，
所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.