Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥AB；
（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_△PEQ=

2

25

S_△BCD？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PF，在上述運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

分析：（1）若要PE∥AB，則應(yīng)有

DE

DA

=

DP

DB

，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到

DE

BC

=

EQ

CD

，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到

PQ

BD

=

PN

BM

，求得PN的值，利用S_△PEQ=

1

2

EQ•PN得到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用S_△PEQ=

2

25

S_△BCD建立方程，求得t的值；
（4）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即五邊形的面積不變．

解答：解：（1）當(dāng)PE∥AB時(shí)，
∴

DE

DA

=

DP

DB

．
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

6

=

10-t

10

，
∴t=

15

4

，
∴當(dāng)t=

15

4

（s），PE∥AB．

（2）∵線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，
∴EF平行且等于CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴

DE

BC

=

EQ

CD

．

t

10

=

EQ

4

．
∴EQ=

2

5

t．
過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=

1

2

CD=2cm，
∴BM=

102-22

=

100-4

=

96

=4

6

cm，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴

PQ

BD

=

PN

BM

．
∴

10-2t

10

=

PN

4 6

．
∴PN=4

6

(1-

t

5

)．
∴S_△PEQ=

1

2

EQ•PN=

1

2

×

2

5

t×4

6

(1-

t

5

)=-

4 6

25

t2+

4 6

5

t．

（3）S_△BCD=

1

2

CD•BM=

1

2

×4×4

6

=8

6

，
若S_△PEQ=

2

25

S_△BCD，
則有-

4 6

25

t²+

4 6

5

t=

2

25

×8

6

，
解得t₁=1，t₂=4．

（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD=8

6

．
∴在運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PFCDE的面積不變．

點(diǎn)評：本題利用了平行線的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強(qiáng)，難度較大．