Question

如圖，正方形ABCD的邊長是2，E為BC的中點，點M、N分別在CD和AD上，且MN=1，當DM=

5

5

或

2 5

5

時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．

Answer 1

分析：由正方形ABCD的邊長是2，E為BC的中點，即可求得BE的值，分別從若△ABE∽△NDM與若△ABE∽△MDN，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠A=90°，
∴AB=BC=2，
∵E為BC的中點，
∴BE=1，
若△ABE∽△NDM，
則

DN

AB

=

DM

BE

，
即：

DN

DM

=2，
設DM=x，DN=2x，
∴x²+（2x）²=1，
解得：x=

5

5

；
若△ABE∽△MDN，
則

DM

AB

=

DN

BE

，
即：

DN

DM

=

1

2

，
設DM=2y，DN=y，
∴（2y）²+y²=1，
解得：2y=

2 5

5

；
∴當DM=

5

5

或

2 5

5

時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．
故答案為：

5

5

或

2 5

5

．

點評：此題考查了相似三角形的性質．解題的關鍵是注意分類討論思想，方程思想與數形結合思想的應用．