Question

定義：可以表示為兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無(wú)理數(shù)．如

2

不能表示為兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)的商，所以，

2

是無(wú)理數(shù)．
可以這樣證明：
設(shè)

2

=

a

b

，a與b 是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且b≠0．
則2=

a2

b2

a²=2b²因?yàn)閎是整數(shù)且不為0，所以，a是不為0的偶數(shù)，設(shè)a=2n，（n是整數(shù)），所以b²=2n²，所以b也是偶數(shù)，與a，b是互質(zhì)的正整數(shù)矛盾．所以，

2

是無(wú)理數(shù)．仔細(xì)閱讀上文，然后，請(qǐng)證明：

5

是無(wú)理數(shù)．

Answer 1

分析：先設(shè)

5

=

a

b

，再由已知條件得出5=

a2

b2

，a²=5b²，又知道b是整數(shù)且不為0，所以a不為0且為5的倍數(shù)，再設(shè)a=5n，（n是整數(shù)），
則b²=5n²，從而得到b也為5的倍數(shù)，與a，b是互質(zhì)的正整數(shù)矛盾，從而證明了答案．

解答：解：設(shè)

5

=

a

b

，a與b是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且b≠0．則5=

a2

b2

，a²=5b²，
因?yàn)閎是整數(shù)且不為0，
所以a不為0且為5的倍數(shù)，設(shè)a=5n，（n是整數(shù)），
所以b²=5n²，
所以b也為5的倍數(shù)，
與a，b是互質(zhì)的正整數(shù)矛盾．
所以

5

是無(wú)理數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了無(wú)理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三．