Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C（點(diǎn)C點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥軸于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE最長(zhǎng)？此時(shí)PE等于多少？

（3）如果平行于x軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)N，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2－3x＋4，C（1，0）（2）當(dāng)t=-2時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度有最大值4，此時(shí)P（－2，6）（3）存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

【解析】

解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（－4，0），B（0，4）．

∵拋物線y=－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴，解得．

∴拋物線解析式為y=－x2－3x＋4．

令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1，

∴C（1，0）．

（2）如圖1，

設(shè)D（t，0）．

∵OA=OB，∴∠BAO=45°．

∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）．

PE=yP－yE=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4．

∴當(dāng)t=-2時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度有最大值4，此時(shí)P（－2，6）．

（3）存在．如圖2，過(guò)N點(diǎn)作NH⊥x軸于點(diǎn)H．

設(shè)OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°．

∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m．

又M為OA中點(diǎn)，∴MH=2－m．

當(dāng)△MON為等腰三角形時(shí)：

①若MN=ON，則H為底邊OM的中點(diǎn)，

∴m=1，∴yQ=4－m=3．

由－xQ2－3xQ＋4=3，解得．

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，3）或（，3）．

②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中，

根據(jù)勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，

化簡(jiǎn)得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合題意，舍去）．

∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得．

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，2）或（，2）．

③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中，

根據(jù)勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，

化簡(jiǎn)得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，

∴此時(shí)不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．

（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，并求出拋物線與x軸另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）求出線段PE長(zhǎng)度的表達(dá)式，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可以將PE表示為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出PE長(zhǎng)度的最大值．

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，將直線l的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，通過(guò)一元二次方程的判別式可知直線l是否存在，并求出相應(yīng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)． “△MON是等腰三角形”，其中包含三種情況：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一討論求解．